AdaBoost 算法的解释

我们前面提到过 Bagging 的数学基础是 Bootstrap 理论、但还没有讲 Boosting 的数学基础。本篇文章拟打算直观地阐述 Boosting 族的代表算法——AdaBoost 算法的解释，由于具体的推导相当繁琐，相关的细节我们会放在相关数学理论里面说明

首先将结论给出：AdaBoost 算法是前向分步算法的特例，AdaBoost 模型等价于损失函数为指数函数的加法模型

其中，加法模型的定义是直观且熟悉的：

$$f\left( x \right) = \sum_{k = 1}^{M}{\alpha_{k}g(x;\Theta_{k})}$$

这里的$g(x;\Theta_{k})$为基函数，$\alpha_{k}$是基函数的权重，$\Theta_{k}$是基函数的参数。显然的是，我们的 AdaBoost 算法的最后一步生成的模型正是这么一个加法模型

而所谓的前向分步算法，就是从前向后、一步一步地学习加法模型中的每一个基函数及其权重而非将$f(x)$作为一个整体来训练，这也正是 AdaBoost 的思想

如果此时需要最小化的损失函数是指数损失函数$L\left( y,f\left( x \right) \right) = \exp\left\lbrack - yf\left( x \right) \right\rbrack$的话，通过一系列的数学推导后可以证明、此时的加法模型确实等价于 AdaBoost 模型

可能大家会觉得这里面有一些别扭：为什么一个实现起来非常简便的模型，它背后的数学原理却如此复杂？事实上有趣的是，AdaBoost 是为数不多的、先有算法后有解释的模型。也就是说，是先有了 AdaBoost 这个东西，然后数学家们看到它的表现非常好之后、才开始绞尽脑汁并想出了一套适用于 AdaBoost 的数学理论。更有意思的是，该数学理论并非毫无意义：在 AdaBoost 的回归问题中，就可以用前向分步算法的理论、将每一步的训练转化为了拟合当前模型的残差、从而简化了训练步骤。我们可以简单地叙述一下其原理：

加法模型的等价叙述为

$$f_{k + 1}\left( x \right) = f_{k}\left( x \right) + g_{k + 1}(x;\Theta_{k + 1})$$

其中$g_{k + 1}$为第$k + 1$步的基函数（亦即 AdaBoost 中的弱分类器），$\Theta_{k + 1}$为其参数。当采用平方误差损失函数$L\left( y,f\left( x \right) \right) = {\lbrack y - f\left( x \right)\rbrack}^{2}$时，可知第$k + 1$步的损失变为：

$$L = {\left\lbrack y - f_{k + 1}\left( x \right) \right\rbrack^{2} = \left\lbrack y - f_{k}\left( x \right) - g_{k + 1} \right\rbrack}^{2} = \left\lbrack r_{k}(x) - g_{k + 1}(x) \right\rbrack^{2}$$

其中$r_{k}(x) = y - f_{k}(x)$是第$k$步模型的残差。

从上式可以看出在第$k + 1$步时，为了最小化损失$L$，只需让当前的基函数$g_{k + 1}$拟合当前模型的残差$r_{k}$即可，这就完成了 AdaBoost 回归问题的转化。比较具有代表性的是回归问题的提升树算法，它正是利用了以上叙述的转化技巧来进行模型训练的